Colóquios – arthritis matemática wikipedia

Em 1960, Rudolph Kalman publicou o que é discutivelmente o primeiro artigo a desenvolver uma abordagem sistemática e baseada em princípios para o uso de dados para melhorar a capacidade preditiva de modelos matemáticos. À medida que nossa capacidade de coletar dados cresce a um ritmo enorme, a importância desse trabalho também continua crescendo. A palestra irá descrever este artigo, e os desenvolvimentos que surgiram a partir dele, revolucionando campos como o controle de naves espaciais, previsão do tempo, oceanografia e recuperação de petróleo, e com potencial para uso em novos campos, como imagens médicas e inteligência artificial. Alguns detalhes matemáticos também serão fornecidos, mas limitados a conceitos simples, como otimização e iteração; A palestra foi projetada para ser amplamente acessível a qualquer pessoa interessada em ciência quantitativa.

O sistema de átomos de hidrogênio é um dos exemplos mais estudados de um sistema de mecânica quântica. Ele pode ser totalmente resolvido e a principal razão é a sua simetria (oculta). Nesta palestra, explicarei como as simetrias da equação schrödinger para o átomo de hidrogênio, visíveis e ocultas, dão origem a um exemplo na teoria de famílias algébricas dos módulos harish-chandra, recentemente desenvolvida. Mostrarei como a estrutura algébrica dessas simetrias determina completamente o espectro do operador schrödinger e lança nova luz sobre a natureza quântica do sistema. Nenhum conhecimento prévio sobre mecânica quântica ou teoria de representação será assumido.

A simetria do espelho é um fenômeno notável, descoberto pela primeira vez na física. Relaciona duas áreas aparentemente diferentes da matemática, geometria simplética e algébrica. Sua formulação inicial era bastante estreita, como uma técnica para computar invariantes enumerativos (os chamados invariantes gromov-witten) de variedades simpléticas resolvendo certas equações diferenciais descrevendo a variação da estrutura da miscelânea de “espelho”." variedades. Nos últimos 25 anos, essa visão estreita expandiu-se consideravelmente, em grande parte devido aos insights de M. Kontsevich, que introduziu técnicas de categorias derivadas no assunto. Atualmente, a simetria do espelho abrange amplas áreas da matemática, abordando temas como geometria biracional, teoria dos números, álgebra homológica, etc.

Em minha palestra, examinarei alguns dos recentes desenvolvimentos em simetria de espelho, e explicarei como meu trabalho se encaixa no quadro geral. Em particular, descreverei um exemplo de três dobras equivalentes derivadas, mas não biracionais, calabi-yau (trabalho conjunto com lev borisov); e um cálculo recente de um invariante categórico e grotesco do gênero positivo (trabalhe com meu ex-aluno junwu tu).

Apresentarei um operador integral que se originou no estudo da transformada de Fourier euclidiana e está intimamente relacionado a muitos problemas em PDE, teoria espectral, teoria analítica dos números e combinatória. Vou então apresentar alguns desenvolvimentos recentes na análise harmônica sobre este operador. Vou me concentrar principalmente em várias novas maneiras de "induzir em escalas" que desempenhou um papel importante na solução recente em todas as dimensões do a.E. de carleson. Problema de convergência em soluções livres schrödinger.

Nesta palestra, apresentarei um novo método para estudar a regularidade dos minimizadores para problemas variacionais. Começarei introduzindo a noção de explosão, usando como modelo o chamado problema dos obstáculos. Então, declararei a desigualdade (log) -epiperimétrica e explicarei como ela é usada para provar a exclusividade dos resultados de expansão e regularidade para a solução próxima ao seu conjunto singular. Mostrarei então a flexibilidade desse método descrevendo como ele pode ser aplicado a outros problemas de limite livre e (quase) – minimizar as correntes.

A teoria da representação de grupos reais não-compactos, como SL (2, R), é uma disciplina fundamental com usos em análise harmônica, teoria dos números, física e muito mais. Essa teoria é de natureza analítica, mas no decorrer do século XX foi algebralizada e geometrizada (as principais contribuições são harish-chandra para o primeiro e para beilinson-bernstein para o segundo). Grosso modo e de modo geral, a algébrizaçăo retira camadas dos objetos de estudo até que ficamos com um esqueleto nu, passível de manipulaçăo simbólica. A geometrização, mais uma vez muito grosseiramente, revela como os objetos algébricos têm vidas secretas sobre espaços – portanto, mais acessíveis à intuição humana. Nesta palestra, tentarei motivar e apresentar um exemplo – o cálculo do módulo casselman-jacquet de uma representação em série principal (explicarei os termos na palestra).

Conexões entre definibilidade e computação. Essas conexões podem ser vistas em resultados fundamentais como o teorema de post, que estabelece uma conexão entre a complexidade das fórmulas necessárias para definir um dado conjunto de números naturais e sua força teórica de computabilidade. Como ficou cada vez mais claro, eles também podem ser vistos na análise da teoria da computabilidade de objetos cujas definições vêm de noções que surgem naturalmente na combinatória. A heurística aqui é que

Particular ramsey-teórico, como versões do teorema de ramsey para colorações de conjuntos infinitos contáveis ​​e versões do teorema de hindman, que afirma que para cada coloração dos números naturais com muitas cores finitas, há um conjunto infinito de números tais que todos os não-vazios somas de elementos distintos deste conjunto têm a mesma cor.

Acredita-se que as flutuações macroscópicas em tais sistemas sejam universalmente descritas por campos gaussianos log-correlacionados. Apresentarei uma abordagem para lidar com essa questão com base na noção de função geradora de schur de uma distribuição de probabilidade e explique como ela leva a uma confirmação rigorosa dessa crença em uma variedade de situações.

Os feixes de fibras com fibra de uma superfície surgem em muitas áreas, incluindo geometria hiperbólica, geometria simplética e geometria algébrica. Até o isomorfismo, um feixe de superfície é completamente determinado por sua representação em monodromia, que é um homomorfismo para um grupo de classes de mapeamento. Isso permite usar a álgebra para estudar a topologia dos feixes de superfície. Infelizmente, a representação da monodromia é tipicamente difícil de “computar" (e.G. Determine sua imagem). Nesta palestra, discutirei alguns trabalhos recentes para o cálculo de grupos de monodromia para feixes de superfície holomórfica, incluindo alguns exemplos de atiyah e kodaira. Isso pode ser aplicado ao problema de contar o número de maneiras que certas fibras de 4 pares de fibra sobre uma superfície. Este é um trabalho conjunto com o nick salter.

Problemas de otimização combinatória são onipresentes em diversas aplicações matemáticas. O desejo de entender seu “típico" comportamento motiva um estudo desses problemas em instâncias aleatórias. Apesar de uma longa e rica história, muitas questões naturais neste domínio ainda são intratáveis ​​para uma rigorosa análise matemática. Problemas de corte de grafos como max-cut e min-bissection são exemplos canônicos nessa classe. Por outro lado, os físicos estudam essas questões usando a réplica não rigorosa “" e cavidade" métodos e prever recursos complexos e intrigantes. Nesta palestra, descreverei alguns progressos recentes em nossa compreensão de suas propriedades típicas em gráficos aleatórios, obtidos por meio de conexões com a teoria dos óculos de spin de campo médio. As novas técnicas são amplamente aplicáveis ​​e levam a novas consequências algorítmicas e estatísticas.

Em particular, nos concentramos no notoriamente difícil mapeamento kohn-sham da teoria do funcional da densidade (DFT). Mostramos que a rede neural multi-escala proposta pode aprender eficientemente este mapa, evitando assim uma dispendiosa iteração de campo auto-consistente. Além disso, mostramos a aplicação desta metodologia à dinâmica molecular ab-initio, para a qual fornecemos exemplos de problemas 1D e sistemas 3D pequenos, embora realistas.

O cálculo das variações nos pede para minimizar alguma energia e, em seguida, descrever a forma / propriedades dos minimizadores. Talvez seja um fato surpreendente que os minimizadores tenham" as energias são mais regulares que uma, a priori, assume. Uma ferramenta útil para entender esse fenômeno é a equação euler-lagrange, que é uma equação diferencial parcial satisfeita pelos pontos críticos da energia.